Espaço de coluna de uma matriz

Álgebra linear é um amplo tópico de matemática com aplicações em várias situações do mundo real, particularmente no aprendizado de máquina. Matrizes e vetores são os blocos de construção fundamentais da álgebra linear e são usados ​​em vários procedimentos e ferramentas. O espaço da coluna de uma matriz será discutido neste artigo. Também analisaremos várias terminologias necessárias para compreender o espaço da coluna da matriz.

Qual é a extensão de um vetor?

Span significa simplesmente que, dado um conjunto de vetores, se qualquer combinação linear for aplicada a esse conjunto de vetores e permanecerá dentro desse espaço vetorial, abrange esse espaço vetorial. Isso significa que, se você multiplicar qualquer escalar por um vetor específico, ele permanecerá dentro dessa dimensão, esteja você trabalhando com o primeiro, segundo, terceiro ou enésimo dimensão. Dizem que "abrange" em todos os lugares dentro dessa dimensão. Quando você multiplica um conjunto de vetores por um escalar, simplesmente indica que o conjunto de vetores com quem você está trabalhando pode cobrir (ou ser colocado em qualquer lugar dentro) a dimensão completa (ou espaço vetorial) com quem você está trabalhando.

O que é combinação linear?

Suponha que você tenha um conjunto de objetos matemáticos x₁.. .x_n que suportam multiplicação e adição escalares (e.g., membros de um anel ou espaço vetorial), então y = a₁x₁+a₂x₂+… a_nx_n (onde a IA são alguns valores escalares). A ilustração mais popular é utilizar vetores 3D no espaço euclidiano. Um vetor que reside no mesmo plano através da origem que os dois vetores originais colocados na origem é uma combinação linear de dois desses vetores.

O que são espaços de linha e coluna?

Suponha que A é uma matriz MXN sobre o campo F. Depois, há vetores n componentes nas fileiras, e existem m delas. Da mesma forma, cada vetor de componente m é representado por n colunas. O subespaço de fⁿ Formado pelos vetores da linha é o espaço de linha de A, e seus elementos são combinações lineares dos vetores da linha. Este espaço tem dimensão, e as colunas obrigaram essas relações entre as linhas e vice -versa. Da mesma forma, o espaço de coluna da matriz é o subespaço de f^m formado pelos vetores de coluna da matriz. Embora esse espaço seja distinto do espaço da linha em geral, ele tem as mesmas dimensões que o espaço da linha, pois qualquer relação linear entre as colunas também impõe tais relações entre as linhas e vice -versa.

Mergulhando mais no espaço da coluna

Span é o conceito mais fundamental. Simplificando, a extensão das colunas de um determinado vetor é o que chamamos de espaço na coluna. Você pode tomar todas as combinações lineares possíveis de vetores se tiver uma coleção deles. O espaço vetorial resultante é conhecido como a extensão da coleção original. O espaço da coluna é uma coleção de um conjunto de todas as combinações lineares possíveis dos vetores de coluna da matriz. Em outras palavras, se um vetor B em r^m pode ser expresso como uma combinação linear das colunas de A, está no espaço da coluna de A. Isto é, b ∈ Cs (a) precisamente quando existem escalares x₁, x₂,…, X_n de tal modo que

Como o produto de um com um vetor de coluna, qualquer combinação linear dos vetores da coluna de uma matriz A pode ser escrita:

Portanto, o espaço da coluna da matriz A consiste em todos os produtos possíveis a*x, para x ∈ Cⁿ. O resultado acima também é a imagem da transformação da matriz correspondente.

Geralmente denotamos os espaços de linha e coluna da matriz (digamos a) por c (at) e c (a), respectivamente.

Conclusão

Este artigo abordou vários tópicos relacionados ao espaço da coluna da matriz. A extensão de um vetor é o espaço que permanece inalterado depois que uma combinação linear é aplicada à coleção de vetores. Depois de multiplicar um conjunto de vetores e escalares, a soma é chamada de combinação linear. A coleção de todas as combinações lineares concebíveis dos vetores de coluna de uma matriz é o espaço da coluna da matriz.